Вопрос школьника
На сторонах треугольника ABC извне построены квадраты ABB1A1, ACC1A2. Докажите, что: а) отрезки A1C и A2B равны и взаимно перпендикулярны; б) центры квадратов и середины отрезков BC и A1A2 являются вершинами квадрата.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник ABC и квадрат ABB1A1. Поскольку угол ABC прямой, то угол AB1C1 также прямой. Значит, треугольник AB1C1 прямоугольный. Аналогично, треугольник ACB1 также прямоугольный. Из этих двух треугольников мы можем вывести, что AB1 = AC и B1C1 = BC. Также заметим, что угол A1AB равен углу A2AC, так как они являются вертикальными углами. Значит, треугольники A1AB и A2AC подобны. Из этого следует, что A1C/A2B = AB/AC = AC/AB, то есть A1C = A2B. Также заметим, что угол A1CB равен углу A2BC, так как они являются вертикальными углами. Значит, треугольники A1CB и A2BC подобны. Из этого следует, что угол A1CB равен углу A2BC, то есть A1C перпендикулярно A2B.
б) Рассмотрим квадрат ABB1A1. Заметим, что точка B1 является серединой отрезка AB, а точка A1 является серединой отрезка AA1. Значит, отрезок B1A1 проходит через середину отрезка AB и параллелен AC. Аналогично, рассмотрим квадрат ACC1A2. Точка C1 является серединой отрезка AC, а точка A2 является серединой отрезка AA2. Значит, отрезок C1A2 проходит через середину отрезка AC и параллелен AB. Таким образом, отрезки B1A1 и C1A2 пересекаются в середине отрезка BC и перпендикулярны ему. Значит, центры квадратов и середины отрезков BC и A1A2 являются вершинами квадрата.
