Вопрос школьника
На сторонах треугольника ABC (рис. 253) обозначены точки Е и F так, что ∟1 = ∟2. Докажите, что ∟3 = ∟4
Ответ от учителя
Для начала, обозначим углы треугольника ABC: ∟1 — угол при вершине A, ∟2 — угол при вершине B, ∟3 — угол при вершине C.
Также, обозначим углы треугольника AEF: ∟5 — угол при вершине E, ∟6 — угол при вершине F, ∟7 — угол при вершине A.
Из условия задачи, мы знаем, что ∟1 = ∟2, а значит, углы при вершинах A и B равны между собой. Также, мы знаем, что углы ∟5 и ∟6 являются вертикальными (они лежат на одной прямой), а значит, они равны между собой: ∟5 = ∟6.
Теперь рассмотрим треугольник AEF. Из суммы углов треугольника, мы знаем, что ∟5 + ∟6 + ∟7 = 180°. Заменим ∟5 на ∟6 (так как они равны): ∟6 + ∟6 + ∟7 = 180°. Упростим: 2∟6 + ∟7 = 180°.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из суммы углов треугольника, мы знаем, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 180°. Заменим ∟1 на ∟2 (так как они равны): ∟2 + ∟2 + ∟3 = 180°. Упростим: 2∟2 + ∟3 = 180°.
Так как ∟1 = ∟2, то ∟2 = ∟1/2. Подставим это выражение в уравнение для треугольника ABC: 2(∟1/2) + ∟3 = 180°. Упростим: ∟1 + ∟3 = 180°.
Теперь мы можем заменить ∟1 на ∟2 в уравнении для треугольника AEF: 2∟6 + ∟7 = ∟2 + ∟3. Подставим выражение для ∟2 из уравнения для треугольника ABC: 2∟6 + ∟7 = ∟1/2 + ∟3.
Таким образом, мы получили два уравнения: 2∟6 + ∟7 = ∟1/2 + ∟3 и ∟1 + ∟3 = 180°. Из этих уравнений можно выразить ∟3 через ∟6 и ∟7: ∟3 = 180° — ∟1 = 180° — 2∟2 = 360° — 4∟6 — 2∟7.
Теперь осталось доказать, что ∟4 = ∟3. Рассмотрим треугольник ACF. Из суммы углов треугольника, мы знаем, что ∟1 + ∟4 + ∟6 = 180°. Заменим ∟1 на ∟2 (так как они равны): ∟2 + ∟4 + ∟6 = 180°. Упростим: ∟4 + 2∟6 = 180° — ∟2.
Теперь мы можем заменить ∟2 на ∟1/2 в уравнении для треугольника ACF: ∟4 + 2∟6 = 180° — ∟1/2. Подставим выражение для ∟1 из уравнения для треугольника ABC: ∟4 + 2∟6 = 180° — ∟2.
Таким образом, мы получили два уравнения: ∟4 + 2∟6 = 180° — ∟2 и ∟4 + 2∟6 = 180° — ∟2. Из этих уравнений следует, что ∟4 = ∟3.
Таким образом, мы доказали, что если на сторонах треугольника ABC обозначены точки Е и F так, что ∟1 = ∟2, то ∟3 = ∟4.
