Вопрос школьника
На сторонах угла D отмечены точки М и К так, что DM = DK. Известно, что точка Р лежит внутри угла D и РК = РМ. Докажите, что луч DP — биссектриса угла MDK.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что луч DP является биссектрисой угла MDK, необходимо показать, что он делит угол MDK на два равных угла.
Рассмотрим треугольник РМК. Из условия задачи следует, что РК = РМ, а значит, что точка Р лежит на биссектрисе угла МКР. Также из условия задачи следует, что угол МРК равен углу КРМ.
Рассмотрим теперь треугольник МДК. Из условия задачи следует, что DM = DK, а значит, что точка D лежит на биссектрисе угла МКД. Также из условия задачи следует, что угол МДК равен углу КДМ.
Таким образом, мы имеем две биссектрисы углов МКР и МКД, которые пересекаются в точке Р. При этом угол МРК равен углу КРМ, а угол МДК равен углу КДМ.
Из теоремы о трех биссектрисах следует, что точка Р также лежит на биссектрисе угла МДК. А значит, что луч DP является биссектрисой угла MDK.
Таким образом, мы доказали, что луч DP делит угол MDK на два равных угла, что и означает, что он является биссектрисой этого угла.
