Вопрос школьника
На сторонах угла POQ отмечены точки A, B, С и D так, что AO = OB и AC = BD (рис. 170). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE – биссектриса угла POQ. Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что луч OE является биссектрисой угла POQ, нужно показать, что угол POE равен углу QOE.
Рассмотрим треугольники AOE и BOE. Из условия задачи следует, что AO = OB и угол AOE равен углу BOE, так как они соответственно являются вершинными и соответственными углами при равных сторонах. Следовательно, треугольники AOE и BOE равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их третьи стороны равны, то есть OE = OE.
Теперь рассмотрим треугольники COE и DOE. Из условия задачи следует, что AC = BD и угол AEC равен углу BED, так как они соответственно являются вершинными и соответственными углами при равных сторонах. Следовательно, треугольники COE и DOE равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их третьи стороны равны, то есть OE = OE.
Из полученных равенств следует, что треугольники AOE и BOE равны треугольникам COE и DOE, а значит, угол POE равен углу QOE. Следовательно, луч OE является биссектрисой угла POQ.
Для построения биссектрисы угла POQ можно использовать следующий алгоритм:
1. Отметить точку O, из которой будет проводиться биссектриса угла POQ.
2. Отметить точки A, B, C и D на сторонах угла POQ так, чтобы AO = OB и AC = BD.
3. Провести прямые AD и BC, пересекающиеся в точке E.
4. Провести луч OE, который будет являться биссектрисой угла POQ.
