Вопрос школьника
На сторонах угла с вершиной в точке А отложены равные отрезки АВ и АС. Через точки В и С проведены прямые, перпендикулярные сторонам АВ и АС соответственно, которые пересекаются в точке D. Докажите, что луч AD является биссектрисой угла ВАС.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что луч AD является биссектрисой угла ВАС, нужно показать, что угол ВАD равен углу CAD.
Рассмотрим треугольник АВD. Так как отрезки АВ и АС равны, то углы ВАD и САD равны 90 градусам. Также, так как отрезки АВ и АС равны, то углы ВАС и АСВ равны между собой. Таким образом, угол ВАD равен углу АСВ.
Рассмотрим треугольник АСD. Так как отрезки АВ и АС равны, то углы ВАС и САВ равны между собой. Также, так как прямая, проходящая через точки В и С, перпендикулярна сторонам АВ и АС соответственно, то углы САВ и СВА равны между собой. Таким образом, угол САD равен углу СВА.
Из полученных равенств следует, что угол ВАС равен сумме углов АСВ и СВА. Так как углы АСВ и СВА равны между собой, то угол ВАС равен удвоенному углу АСВ (или СВА). Таким образом, угол ВАС равен 2 углам ВАD и САD.
Из этого следует, что угол ВАD равен углу CAD, то есть луч AD является биссектрисой угла ВАС.
