Вопрос школьника
На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА=ОВ, AC=BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте
Ответ от учителя
Для доказательства того, что луч ОЕ является биссектрисой угла XOY, нужно показать, что угол XOE равен углу YOE.
Рассмотрим треугольники OAE и OBD. Они равнобедренные, так как ОА=ОВ и ОВ=ОD. Значит, углы OAE и OBD равны между собой. Также, по условию задачи, AC=BD, что означает, что треугольники AEC и BDC равны между собой. Значит, углы AEC и BDC также равны между собой.
Теперь рассмотрим треугольники AOE и DOE. Они имеют общую сторону ОЕ и равные углы OAE и ODE (так как это равнобедренные треугольники). Значит, эти треугольники подобны. Аналогично, треугольники COE и DOE подобны.
Из подобия треугольников AOE и DOE следует, что угол XOE равен углу AOD. Из подобия треугольников COE и DOE следует, что угол YOE равен углу COD. Но углы AOD и COD равны между собой (так как треугольники AEC и BDC равны между собой). Значит, угол XOE равен углу YOE, и луч ОЕ является биссектрисой угла XOY.
Способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте, заключается в следующем: проводим луч ОЕ, который является биссектрисой угла XOY. Далее, на этом луче отмечаем точку F, которая находится на расстоянии ОЕ от точки О. Тогда луч OF будет являться биссектрисой угла XOY.
