Вопрос школьника
На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка P. Биссектриса угла DCP пересекает AD в точке Q. Докажите, что CP = DQ + BP.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о биссектрисе угла треугольника.
Из условия задачи следует, что угол DCP является углом треугольника DCP, а биссектриса этого угла пересекает сторону AD в точке Q. Тогда по теореме о биссектрисе угла треугольника мы можем записать:
$$frac{DQ}{AQ}=frac{CP}{AP}$$
Также из условия задачи следует, что точка P является вершиной квадрата ABCD, а значит, стороны квадрата равны между собой:
$$AB=BC=CD=DA$$
Отсюда следует, что угол BCD является прямым углом, а значит, угол DCP и угол BCP являются смежными и их сумма равна 90 градусов:
$$angle DCP + angle BCP = 90^circ$$
Тогда угол ACP также равен 90 градусов, а значит, треугольник ACP является прямоугольным.
Из прямоугольности треугольника ACP следует, что:
$$AP^2 + CP^2 = AC^2$$
А так как стороны квадрата равны между собой, то:
$$AC^2 = AB^2 = (DQ + BP)^2$$
Тогда мы можем записать:
$$AP^2 + CP^2 = (DQ + BP)^2$$
Из первого уравнения мы можем выразить $frac{CP}{AP}$ и подставить его во второе уравнение:
$$left(frac{CP}{AP}right)^2AP^2 + CP^2 = (DQ + BP)^2$$
$$CP^2 + CP^2 = (DQ + BP)^2$$
$$2CP^2 = (DQ + BP)^2$$
$$CP = frac{DQ + BP}{sqrt{2}}$$
Таким образом, мы доказали, что $CP = DQ + BP/sqrt{2}$, что и требовалось доказать.
