Вопрос школьника
На стороне AB выпуклого четырехугольника ABCD отмечены точки M и N так, что AM = MN = NB, а на стороне CD — точки P и Q так, что CP = PQ = QD. Докажите, что площадь четырехугольника MNPQ в 3 раза меньше площади четырехугольника ABCD.
Ответ от учителя
Пусть сторона AB равна a, а сторона CD равна b. Тогда, так как AM = MN = NB, то AM = MN = NB = a/3. Аналогично, CP = PQ = QD = b/3.
Рассмотрим треугольник AMN. Он равнобедренный, так как AM = MN. Пусть высота, опущенная на сторону AB, равна h. Тогда, по теореме Пифагора, h^2 + (a/6)^2 = (a/3)^2, откуда h = a/2√3. Площадь треугольника AMN равна (1/2)·a/3·a/2√3 = a^2/12√3.
Аналогично, рассмотрим треугольник CPQ. Он также равнобедренный, и его высота, опущенная на сторону CD, равна b/2√3. Площадь треугольника CPQ равна b^2/12√3.
Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. Его площадь равна сумме площадей треугольников ABP и CDQ и прямоугольника PQCB. Площадь треугольника ABP равна (1/2)·a·h = a^2/4√3, аналогично, площадь треугольника CDQ равна b^2/4√3. Площадь прямоугольника PQCB равна b·(a — a/3) = 2ab/3. Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна a^2/4√3 + b^2/4√3 + 2ab/3 = (a^2 + b^2 + 6ab/9) / 4√3 = (a^2 + b^2 + 2ab/3) / 6√3.
Теперь рассмотрим четырехугольник MNPQ. Он также можно разбить на два треугольника и прямоугольник. Площадь треугольника MNP равна a^2/12√3, аналогично, площадь треугольника NPQ равна b^2/12√3. Площадь прямоугольника MPQC равна (a/3)·(b — b/3) = 2ab/9. Таким образом, площадь четырехугольника MNPQ равна a^2/12√3 + b^2/12√3 + 2ab/9 = (a^2 + b^2 + 8ab/9) / 12√3 = (a^2 + b^2 + 2ab/3) / 9√3.
Отношение площадей четырехугольника MNPQ к четырехугольнику ABCD равно:
((a^2 + b^2 + 2ab/3) / 9√3) / ((a^2 + b^2 + 2ab/3) / 6√3) = 2/3.
Таким образом, площадь четырехугольника MNPQ в 3 раза меньше площади четырехугольника ABCD.
