Вопрос школьника
На стороне AC треугольника ABC отмечена такая точка D, что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника ABC, если AB + AD = 28 см.
Ответ от учителя
Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и c. Тогда периметры треугольников ABD и BCD равны a + b + AD и b + c — AD соответственно. По условию задачи, их разность равна 5 см:
(a + b + AD) — (b + c — AD) = 5
Упрощая выражение, получаем:
a + 2AD — c = 5
Также по условию задачи AB + AD = 28 см, откуда AD = 28 — AB. Подставляя это выражение в предыдущее, получаем:
a + 2(28 — AB) — c = 5
Упрощая, получаем:
a — c = 2AB — 51
Теперь воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab*cos(C)
Выразим cos(C) и подставим в предыдущее выражение:
cos(C) = (a^2 + b^2 — c^2) / 2ab
cos(C) = (a^2 + b^2 — (a^2 + b^2 — 2ab*cos(C))) / 2ab
cos(C) = (2ab*cos(C)) / 2ab
cos(C) = 1
Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2
Также мы знаем, что AB + AD = 28, откуда AB + 28 — AB = 28, то есть AB = 14. Тогда:
a + b = AB + c = 14 + c
a — c = 2AB — 51 = 2*14 — 51 = -23
Решая систему уравнений c^2 = a^2 + b^2 и a + b = 14 + c, получаем:
c = 10, a = 9, b = 5
Таким образом, периметр треугольника ABC равен:
a + b + c = 9 + 5 + 10 = 24 см.
