Вопрос школьника
На стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре построили окружность, которая проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке K. Найдите отношение АК : KB, учитывая, что АС = 3 • BD.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства параллелограмма и окружности.
Из свойств параллелограмма мы знаем, что диагонали его делят друг друга пополам. То есть, точка M — середина диагонали AC, делит ее на две равные части: AM и MC.
Также из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны. Значит, AB = CD.
Из свойств окружности мы знаем, что угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам. Значит, угол AKM — прямой.
Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AKM:
AK^2 + KM^2 = AM^2
Так как KM = MC (так как M — середина AC), то KM = 0.5 * AC.
Заменим AC на 3 * BD (согласно условию задачи) и KM на 0.5 * AC:
AK^2 + (0.5 * 3 * BD)^2 = (0.5 * AC)^2
AK^2 + 2.25 * BD^2 = 0.25 * 9 * BD^2
AK^2 = 0.25 * 9 * BD^2 — 2.25 * BD^2
AK^2 = 1.5 * BD^2
Теперь найдем длину стороны AB, используя тот факт, что AB = CD:
AB = 2 * BD
Теперь можем найти отношение АК : KB:
AK : KB = AK / (AB — AK) = AK / (2 * BD — AK)
AK^2 = 1.5 * BD^2
AK = sqrt(1.5) * BD
AK : KB = sqrt(1.5) * BD / (2 * BD — sqrt(1.5) * BD)
AK : KB = sqrt(1.5) / (2 — sqrt(1.5))
AK : KB = (sqrt(1.5) * (2 + sqrt(1.5))) / (2 — sqrt(1.5)) * (2 + sqrt(1.5)) / (2 + sqrt(1.5))
AK : KB = (3 + 2 * sqrt(3)) / (3 — 1.5)
AK : KB = (3 + 2 * sqrt(3)) / 1.5
AK : KB = 2 + 4 / (3 — 2 * sqrt(3))
Таким образом, отношение АК : KB равно 2 + 4 / (3 — 2 * sqrt(3)).
