Вопрос школьника
На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что SABCD = SADE.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства площадей SABCD и SADE нужно показать, что они равны по значению.
Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон: SABCD = AB * BC.
Площадь треугольника ADE можно вычислить по формуле Герона:
S = √(p(p-AD)(p-AE)(p-DE)),
где p — полупериметр треугольника ADE:
p = (AD + AE + DE)/2.
Заметим, что AM = ME, поэтому AE = 2AM.
Тогда
p = (AD + 2AM + DE)/2 = (AD + AE)/2 = AB/2.
Подставляя это значение в формулу для площади треугольника ADE, получаем:
S = √(p(p-AD)(p-2AM)(p-DE)) = √(AB/2 * (AB/2 — AD) * (AB/2 — AM) * (AB/2 — DE)).
Таким образом, площади SABCD и SADE равны, если выполнено условие:
AB * BC = AB/2 * √((AB/2 — AD) * (AB/2 — AM) * (AB/2 — DE)).
Разделим обе части на AB/2 и возведём в квадрат:
BC^2 = (AB/2)^2 — AD * AM + AM * DE.
Заметим, что AM = ME, поэтому AM * DE = EM * MD.
Также заметим, что треугольники AEM и CDM подобны, так как угол AEM равен углу CDM (они оба равны углу BCD, так как противоположные углы при пересечении прямых равны), а угол AEM также равен углу CMD (они оба равны углу ACD, так как противоположные углы при пересечении прямых равны).
Отсюда следует, что
AM/CD = AE/BC,
то есть
AM = (AE * CD)/BC = (2AM * CD)/BC,
откуда
AM^2 = (2AM * CD * AM)/BC = AM * CD.
Таким образом,
BC^2 = (AB/2)^2 — AD * AM + AM * DE = (AB/2)^2 — AD * AM + AM * MD = (AB/2)^2 — AD * AM + AM^2 = (AB/2)^2 — AD * AM + AM * CD.
Заметим, что AM * CD = SABCD, так как это площадь прямоугольника ABCD, а AD * AM = SADM, так как это площадь треугольника ABD.
Таким образом,
BC^2 = (AB/2)^2 — SADM + SABCD = (AB/2)^2 + SABCD — SADM = (AB/2)^2 + SABDE.
Здесь мы использовали тот факт, что площадь треугольника ABD равна площади треугольника ADE плюс площадь треугольника CDE.
Таким образом, мы доказали, что
BC^2 = (AB/2)^2 + SABDE.
Это означает, что точка N лежит на окружности с центром в точке B и радиусом AB/2.
Аналогично можно доказать, что точка М также лежит на этой окружности.
Таким образом, треугольник BMN является равнобедренным, и его высота, опущенная из вершины B, проходит через середину стороны MN.
Но эта высота также является медианой треугольника ADE, проходящей через точку М.
Таким образом, точка М является точкой пересечения медиан треугольников ADE и BMN.
Но точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1.
Таким образом, AM/MD = BM/BN = 2.
Отсюда следует, что AM = 2MD и BM = 2BN.
Таким образом,
AB = AM + BM = 2MD + 2BN = 2(MD + BN) = 2CD.
Таким образом, сторона AB прямоугольника ABCD равна удвоенной стороне CD.
Подставляя это значение в формулу для площади SABCD, получаем:
SABCD = AB * BC = 2CD * BC = SABDE = SADE.
Таким образом, мы доказали, что площади SABCD и SADE равны, что и требовалось доказать.
