Вопрос школьника
На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так,что BC = BD. Докажите,что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC
Ответ от учителя
Для доказательства параллельности прямой DC биссектрисе угла ABC воспользуемся свойством равных углов.
По условию задачи имеем, что BC = BD, то есть треугольник BCD является равнобедренным. Значит, углы BCD и CBD равны между собой.
Также заметим, что углы ABC и ABD также равны между собой, так как треугольник ABD также является равнобедренным.
Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол ACD является внешним по отношению к треугольнику BCD, а значит, он равен сумме углов BCD и CBD. То есть:
ACD = BCD + CBD
Но мы уже знаем, что углы BCD и CBD равны между собой, поэтому:
ACD = 2CBD
Также мы знаем, что углы ABC и ABD равны между собой, а значит, угол ABD также равен половине угла ABC:
ABD = 1/2ABC
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол ADB является внешним по отношению к треугольнику BCD, а значит, он равен сумме углов BCD и CBD. То есть:
ADB = BCD + CBD
Но мы уже знаем, что углы BCD и CBD равны между собой, поэтому:
ADB = 2CBD
Таким образом, мы получили, что углы ACD и ADB равны между собой:
ACD = ADB
Но это значит, что прямые DC и AB параллельны друг другу, так как соответствующие углы при параллельных прямых равны.
Но мы также знаем, что угол ABD равен половине угла ABC. Значит, угол ACD также равен половине угла ABC.
Таким образом, мы доказали, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.
