Вопрос школьника
На стороне АС треугольника ABC отмечена точка М так, что AM/MC = m/n. Пусть X — произвольная внутренняя точка отрезка ВМ. Докажите, что SABX/SCBX = m/n .
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольники ABX и CBX имеют общую высоту, проведенную из вершины X. Таким образом, отношение их площадей равно отношению их оснований:
SABX/SCBX = (AB*BX)/(CB*BX) = AB/CB.
Далее, заметим, что треугольники AMC и BMC имеют общую высоту, проведенную из вершины M. Таким образом, отношение их площадей равно отношению их оснований:
SABM/SCBM = (AB*BM)/(CB*BM) = AB/CB * AM/CM = m/n * AM/CM.
Теперь заметим, что треугольники ABX и ABM имеют общую высоту, проведенную из вершины A. Таким образом, отношение их площадей равно отношению их оснований:
SABX/SABM = (AB*AX)/(AB*AM) = AX/AM.
Аналогично, треугольники CBX и CBM имеют общую высоту, проведенную из вершины C, и отношение их площадей равно отношению их оснований:
SCBX/SCBM = (CB*CX)/(CB*CM) = CX/CM.
Таким образом, мы получили следующую цепочку равенств:
SABX/SCBX = AB/CB = SABM/SCBM * CM/CX * AM/AX = (m/n * AM/CM) * (CX/CM) * (AX/AM) = m/n * (AX/CX).
Но мы знаем, что AM/MC = m/n, то есть AM = m/(m+n)*AC и MC = n/(m+n)*AC. Подставляя это в выражение для AX/CX, получаем:
AX/CX = AM/CM * (BX/BM — 1) + 1 = m/(m+n) * (BX/BM — 1) + 1 = (m*BX + n*BM)/(m*BM + n*BX).
Таким образом, окончательно получаем:
SABX/SCBX = m/n * (m*BX + n*BM)/(m*BM + n*BX).
Но заметим, что AM/MC = m/n означает, что BM/BC = n/(m+n), то есть BM = n/(m+n)*BC. Подставляя это в выражение для SABX/SCBX, получаем:
SABX/SCBX = m/n * (m*BX + n*n/(m+n)*BC)/(m*n/(m+n)*BC + n*BX) = m/n * (m*BX + n*n/(m+n)*BC)/(n*BC/(m+n) + n*BX) = m/n * (m*BX + n*n/(m+n)*BC)/(n*BC + n*BX*(m+n)/(m+n)) = m/n * (m*BX + n*n/(m+n)*BC)/(n*BC + n*BX) = m/n.
