Вопрос школьника
На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABE так, что его стороны АЕ и BE пересекают отрезок CD в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что прямоугольник ABCD и треугольник ABE равновелики.
Ответ от учителя
Для доказательства равновеликости прямоугольника ABCD и треугольника ABE нужно показать, что их площади равны.
Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон: S(ABCD) = AB * BC.
Площадь треугольника ABE можно вычислить по формуле: S(ABE) = (1/2) * AE * BE * sin(∠AEB).
Так как точка М является серединой стороны АЕ, то МС = SA и МD = EB. Также, так как треугольник ABE прямоугольный, то sin(∠AEB) = sin(∠AMB) = МС/АЕ.
Подставляя эти значения в формулу для площади треугольника ABE, получаем: S(ABE) = (1/2) * AE * EB * МС/АЕ = (1/2) * EB * МС.
Таким образом, S(ABE) = (1/2) * EB * МС, а S(ABCD) = AB * BC.
Но так как точка М является серединой стороны АЕ, то МС = SA, а значит, S(ABE) = (1/2) * SA * EB.
Также, так как треугольник ABE подобен треугольнику ADC (по двум углам), то SA/AB = AD/AC, а значит, SA = (AB * AD) / AC.
Подставляя эти значения в формулу для площади треугольника ABE, получаем: S(ABE) = (1/2) * (AB * AD * EB) / AC.
Таким образом, S(ABE) = (1/2) * (AB * AD * EB) / AC, а S(ABCD) = AB * BC.
Но так как стороны прямоугольника ABCD соответствуют сторонам треугольника ABE, то AB = DC и BC = AE.
Подставляя эти значения в формулу для площади прямоугольника ABCD, получаем: S(ABCD) = AB * BC = DC * AE.
Таким образом, S(ABCD) = DC * AE, а S(ABE) = (1/2) * (AB * AD * EB) / AC.
Но так как DC = AE и AD = EB (противоположные стороны прямоугольника равны), то S(ABCD) = S(ABE).
Таким образом, мы доказали, что площади прямоугольника ABCD и треугольника ABE равны, а значит, они равновелики.
