Вопрос школьника
На стороне АВ треугольника АВС, как на диаметре построена полуокружность ω, которая пересекает прямые АС и ВС в точках В1 и А1 соответственно. Найдите радиус полуокружности ω, если известно, что А1С = 8, В1С = 7, а площадь треугольника А1В1С равна 14√3.
Ответ от учителя
Пусть точка О — центр полуокружности ω. Так как АО и ВО являются радиусами, то ОВ1 = ОА1 = радиус ω. Обозначим его через r.
Так как АОВ1 — прямой угол, то треугольник АОВ1 — прямоугольный. Из него следует:
r² = АО² = АВ² — В1О² = (А1О + ОВ1)² — В1О² = А1О² + 2А1О·ОВ1 + ОВ1² — В1О² = А1О² + ОВ1² + 2А1О·ОВ1 — В1О²
Аналогично, из прямоугольного треугольника ВОВ1 получаем:
r² = ВО² = АВ² — А1О² = (ОА1 + ОВ1)² — А1О² = ОА1² + 2ОА1·ОВ1 + ОВ1² — А1О² = ОА1² + ОВ1² + 2ОА1·ОВ1 — А1О²
Сложим эти два равенства и получим:
2r² = А1О² + ОВ1² + ОА1² + ОВ1² + 4ОА1·ОВ1 — В1О² — А1О²
2r² = 2ОВ1² + 4ОА1·ОВ1 — В1О²
2r² = 2·7² + 4·8r — В1О²
2r² = 98 + 32r — В1О²
Теперь рассмотрим треугольник А1В1С. Его площадь равна:
S = 1/2·А1С·В1С·sin(∠А1В1С) = 1/2·8·7·sin(∠А1В1С)
Так как А1В1 — диаметр полуокружности ω, то ∠А1В1С — прямой угол. Значит, sin(∠А1В1С) = 1. Подставляем известные значения и получаем:
14√3 = 1/2·8·7
Отсюда следует, что ∠А1В1С — прямой угол, а значит, А1В1 — диаметр. Таким образом, О — середина А1В1.
Из прямоугольного треугольника А1ОВ1 получаем:
r² = А1О² = А1В1²/4 — ОВ1² = (В1С — А1С)²/4 — r²
2r² = В1С² — 2·В1С·А1С + А1С² — 4r²
2r² = 7² — 2·7·8 + 8² — 4r²
2r² = 49 — 112 + 64 — 4r²
10r² = 15
r² = 3/2
Ответ: радиус полуокружности ω равен √(3/2).
