Вопрос школьника
На стороне АВ треугольника АВС отметили точки D и Е, а на стороне АС — точки F и М так, что AD = DE = ЕВ, AF= FM= МС. Найдите площадь треугольника AEF, если S=S
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренных треугольников и прямоугольных треугольников.
Из условия задачи следует, что треугольник ADE является равнобедренным, так как AD = DE = EB. Аналогично, треугольник AFM также является равнобедренным, так как AF = FM = MC.
Также заметим, что треугольник AEF является прямоугольным, так как угол AEF является прямым (он лежит на диагонали квадрата ABCD).
Пусть AB = BC = AC = a (так как треугольник ABC является равносторонним), а AD = DE = EB = x и AF = FM = MC = y.
Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
$AE^2 = AB^2 — BE^2 = a^2 — (2x)^2 = a^2 — 4x^2$
$AF^2 = AB^2 — BF^2 = a^2 — (2y)^2 = a^2 — 4y^2$
$EF^2 = AE^2 + AF^2 = 2a^2 — 4x^2 — 4y^2$
Так как треугольник AEF является прямоугольным, его площадь равна:
$S_{AEF} = frac{1}{2} cdot AE cdot AF = frac{1}{2} sqrt{(a^2 — 4x^2)(a^2 — 4y^2)}$
Осталось найти значения x и y. Из равнобедренности треугольников ADE и AFM следует, что:
$x = frac{1}{2}(a — BD)$
$y = frac{1}{2}(a — CF)$
где BD и CF — это высоты треугольников ABD и ACF соответственно.
Так как треугольник ABC является равносторонним, то BD и CF являются медианами и высотами этого треугольника. Известно, что медиана в равностороннем треугольнике равна половине стороны, а высота равна $frac{sqrt{3}}{2}$ от стороны. Поэтому:
$BD = frac{1}{2}a$
$CF = frac{sqrt{3}}{2}a$
Подставляя эти значения в формулы для x и y, получаем:
$x = frac{1}{4}a$
$y = frac{1}{4}asqrt{3}$
Теперь можем вычислить площадь треугольника AEF:
$S_{AEF} = frac{1}{2} sqrt{(a^2 — 4x^2)(a^2 — 4y^2)} = frac{1}{2} sqrt{(a^2 — a^2)(a^2 — a^2sqrt{3})} = frac{1}{2} cdot a^2 cdot frac{sqrt{3}}{2} = frac{a^2sqrt{3}}{4}$
Таким образом, площадь треугольника AEF равна $frac{a^2sqrt{3}}{4}$.
