Вопрос школьника
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрали точку X так, что ВХ : ХС = 5:7, и через точки D и X провели прямую, которая пересекает прямую AB в точке Y. Найдите отрезок BY, учитывая, что сторона AB равна 70 мм.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства параллелограмма и пропорции.
Из свойств параллелограмма следует, что сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD. Также известно, что точка X лежит на стороне BC и делит ее в отношении 5:7. Обозначим длину стороны BC как b.
Тогда длина отрезка BX будет равна 5b/(5+7) = b/2, а длина отрезка CX будет равна 7b/(5+7) = 7b/12.
Так как прямая DX проходит через точку X и точку D, то она также параллельна сторонам AB и CD параллелограмма. Значит, треугольник DXY подобен треугольнику BCX по двум углам, так как угол DXY соответствует углу BCX (они лежат на параллельных прямых), а угол XYD соответствует углу XCB (они оба противоположны углам BXC и DCX).
Из подобия треугольников DXY и BCX следует, что соотношение длин сторон DY и BY равно соотношению длин сторон DX и BX:
DY/BY = DX/BX
Заменяем известные значения:
DY/BY = (b + 70)/BY = CD/BC = AD/BC = AD/2BX = AD/b
DX/BX = CD/CX = AD/(7b/12)
Подставляем значения и решаем уравнение:
(b + 70)/BY = AD/b * BX/DX
(b + 70)/BY = AD/b * 2BX/AD * 12/7b
(b + 70)/BY = 24/7
BY = (b + 70) * 7/24
Так как сторона AB равна 70 мм, то сторона BC также равна 70 мм. Подставляем это значение и находим:
BY = (70 + 70) * 7/24 = 35/6 мм
Ответ: отрезок BY равен 35/6 мм.
