Вопрос школьника
На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите: a) EF и FC, если DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС= 7 см, АE = 10см; б) DE и ЕС, если АВ = 8см, AD= 5 см, CF = 2 см
Ответ от учителя
а) Для решения задачи воспользуемся теоремой Талеса. Пусть точка G — точка пересечения прямых AD и BC. Тогда, так как AB || CD, то треугольники AFG и CEG подобны, а значит:
$frac{AF}{CE} = frac{AG}{CG}$
$frac{AF}{4} = frac{AG}{3}$
$AF = frac{4}{3}AG$
Аналогично, так как AD || BC, то треугольники ADE и BCE подобны, и мы можем записать:
$frac{DE}{EC} = frac{AD}{BC}$
$frac{8}{4} = frac{5}{BC}$
$BC = 10$
Теперь мы можем найти AG, используя теорему Пифагора в треугольнике AGB:
$AG^2 = AB^2 — BG^2 = 10^2 — 7^2 = 51$
$AG = sqrt{51}$
Тогда, подставляя найденные значения в первое уравнение, получаем:
$frac{4}{3}sqrt{51} = EF + FC$
Теперь осталось найти EF и FC. Для этого воспользуемся теоремой Талеса в треугольниках AEF и CEF:
$frac{EF}{AE} = frac{FC}{EC}$
$frac{EF}{10} = frac{FC}{4}$
$EF = frac{5}{2}FC$
Подставляем это в первое уравнение и находим:
$frac{4}{3}sqrt{51} = frac{7}{2}FC$
$FC = frac{8}{3}sqrt{51}$
$EF = frac{20}{3}sqrt{51}$
Итак, мы нашли, что $EF = frac{20}{3}sqrt{51}$ и $FC = frac{8}{3}sqrt{51}$.
б) Для решения этой задачи также воспользуемся теоремой Талеса. Пусть точка G — точка пересечения прямых AD и BC. Тогда, так как AB || CD, то треугольники AFG и CEG подобны, а значит:
$frac{AF}{CE} = frac{AG}{CG}$
$frac{AF}{4} = frac{AG}{3}$
$AF = frac{4}{3}AG$
Аналогично, так как AD || BC, то треугольники ADE и BCE подобны, и мы можем записать:
$frac{DE}{EC} = frac{AD}{BC}$
$frac{DE}{4} = frac{5}{8}$
$DE = frac{10}{4} = frac{5}{2}$
$frac{EC}{4} = frac{3}{8}$
$EC = frac{3}{2}$
Теперь мы можем найти AG, используя теорему Пифагора в треугольнике AGB:
$AG^2 = AB^2 — BG^2 = 8^2 — 5^2 = 39$
$AG = sqrt{39}$
Тогда, подставляя найденные значения в первое уравнение, получаем:
$frac{4}{3}sqrt{39} = EF + FC$
Теперь осталось найти EF и FC. Для этого воспользуемся теоремой Талеса в треугольниках AEF и CEF:
$frac{EF}{AE} = frac{FC}{EC}$
$frac{EF}{10} = frac{FC}{frac{3}{2}}$
$EF = frac{15}{4}FC$
Подставляем это в первое уравнение и находим:
$frac{4}{3}sqrt{39} = frac{19}{4}FC$
$FC = frac{12}{19}sqrt{39}$
$EF = frac{45}{19}sqrt{39}$
Итак, мы нашли, что $DE = frac{5}{2}$ и $EC = frac{3}{2}$, а также $EF = frac{45}{19}sqrt{39}$ и $FC = frac{12}{19}sqrt{39}$.
