Вопрос школьника
На стороне прямого угла с вершиной A взята точка O, причем AO = 7. С центром в точке O проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством вписанной окружности, которое гласит: радиус вписанной окружности равен полупериметру треугольника, образованного сторонами угла и касательной к окружности, проведенной в точке касания.
Пусть точка касания вписанной окружности с окружностью S находится в точке B, а точка касания касательной с окружностью S находится в точке C. Тогда треугольник ABC является прямоугольным, причем угол BAC равен 90 градусов, а сторона AB равна радиусу вписанной окружности.
Так как радиус окружности S равен 1, то расстояние от точки O до точки C также равно 1. Тогда по теореме Пифагора получаем:
AC^2 = AO^2 — OC^2 = 7^2 — 1^2 = 48
Следовательно, AC = √48 = 4√3.
Полупериметр треугольника ABC равен (AB + AC + BC)/2. Так как AB = радиус вписанной окружности, а BC = 1 (так как это радиус окружности S), то полупериметр равен (AB + AC + BC)/2 = (AB + 1 + AC)/2 = (r + 1 + 4√3)/2, где r — радиус вписанной окружности.
Используя свойство вписанной окружности, получаем:
r = (полупериметр треугольника ABC — BC — AB)/2 = ((r + 1 + 4√3)/2 — 1 — r)/2
Решая это уравнение, получаем:
r = (2 — √3)/2
Ответ: радиус вписанной окружности, касающейся окружности S, равен (2 — √3)/2.
