Вопрос школьника
На стороне ВА угла АВС, равного 30°, взята точка D, что АD = 2 и ВD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, D и касающейся прямой ВС
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством касательной окружности: касательная к окружности, проведенная в точке касания, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
Построим рисунок:
Так как угол АВС равен 30°, то угол АВD равен 90° (так как треугольник АВD прямоугольный). Значит, угол АДВ равен 60°.
Также заметим, что треугольник АВС равносторонний (так как все его стороны равны), а значит, угол ВАС равен 60°.
Теперь рассмотрим треугольник ВДС. Мы знаем, что ВД = 1 и АД = 2. Значит, ДС = АВ — АД — ВД = √3 — 2 — 1 = √3 — 3.
Так как угол ВДС равен 90° (так как треугольник ВДС прямоугольный), то мы можем найти радиус окружности, проходящей через точки А, D и касающейся прямой ВС, используя формулу для радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
r = (ВД * ДС) / (2 * ВД + ДС) = (1 * (√3 — 3)) / (2 + √3 — 3) = (√3 — 3) / √3 ≈ 0.134
Ответ: радиус окружности, проходящей через точки А, D и касающейся прямой ВС, равен примерно 0.134.
