Вопрос школьника
На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка М так, что АВ = ВМ.
а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD.
б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, СМ = 4 см.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник АВМ. Из условия задачи следует, что АВ = ВМ, а также угол АВМ равен углу МВА (они смежные и равны). Значит, треугольник АВМ равнобедренный, а значит, угол АМВ равен углу МАВ. Теперь рассмотрим треугольник АМD. Угол АМД равен сумме углов АМВ и ВМD, а значит, он равен углу МАВ + углу ВМD. Но угол МАВ равен углу МАD (как мы только что доказали), а угол ВМD равен углу BCD (они смежные и равны). Значит, угол АМД равен углу МАD + углу BCD, то есть AM является биссектрисой угла BAD.
б) Пусть AB = x. Тогда, из равнобедренности треугольника АВМ, МВ = x. Также, из параллелограмма CDAB следует, что CD = AB = x. Значит, периметр параллелограмма ABCD равен 2x + 2CD = 2x + 16. Но мы знаем, что СМ = ВМ = x/2 (из равнобедренности треугольника АВМ), а значит, МС = 4 см = x/2. Отсюда следует, что x = 8 см. Тогда периметр параллелограмма ABCD равен 2x + 16 = 32 см.
