Вопрос школьника
На внутренней поверхности гладкой сферы лежит невесомый стержень с шариками массой m1 и m2 на концах. Расстояние между центрами масс шариков равно радиусу сферы. Пренебрегая трением найти угол α между стержнем и горизонталью
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы сохранения энергии и момента импульса.
Пусть стержень находится на высоте h от центра сферы. Тогда потенциальная энергия системы равна:
U = m1gh + m2gh
где g — ускорение свободного падения.
Когда стержень находится в положении равновесия, момент импульса системы относительно центра сферы равен нулю:
L = r1 x p1 + r2 x p2 = 0
где r1 и r2 — радиус-векторы шариков относительно центра сферы, p1 и p2 — импульсы шариков.
Так как расстояние между центрами масс шариков равно радиусу сферы, то r1 = -r2 и p1 = -p2. Тогда:
L = r1 x p1 — r1 x p1 = 0
Отсюда следует, что r1 и p1 лежат в одной плоскости, проходящей через центр сферы. Пусть угол между стержнем и горизонталью равен α. Тогда:
r1 = R sin α, p1 = m1v1 = m1gsin α
r2 = -R sin α, p2 = m2v2 = m2gsin α
где R — радиус сферы, v1 и v2 — скорости шариков.
Таким образом, момент импульса системы относительно центра сферы можно записать как:
L = R sin α x m1gsin α — R sin α x m2gsin α = 0
Отсюда получаем:
m1g sin^2 α = m2g sin^2 α
sin^2 α = m2 / (m1 + m2)
sin α = sqrt(m2 / (m1 + m2))
Таким образом, угол α между стержнем и горизонталью равен:
α = arcsin(sqrt(m2 / (m1 + m2)))
