Вопрос школьника
На высоте ВМ равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) отметили точку О так, что ВО = 9 см. Прямая СО пересекает сторону АВ в точке D AD : BD = 2 : 1 Найдите высоту ВМ
Ответ от учителя
Пусть высота треугольника АВС равна h, а сторона АВ (и ВС) равна a. Тогда, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ВОС, имеем:
$$(frac{a}{2})^2 + h^2 = (a-9)^2$$
Раскрыв скобки, получим:
$$frac{a^2}{4} + h^2 = a^2 — 18a + 81$$
$$h^2 = frac{3a^2}{4} — 18a + 81$$
Также, по условию, имеем:
$$frac{AD}{BD} = frac{2}{1}$$
То есть, AD = 2BD. Из этого следует, что точка D делит сторону АВ на три равные части, то есть AD = BD = $frac{a}{3}$. Тогда, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АДО, имеем:
$$h^2 + (frac{a}{3})^2 = 81$$
Заменим в этом уравнении $h^2$ на выражение, полученное ранее:
$$frac{3a^2}{4} — 18a + 81 + (frac{a}{3})^2 = 81$$
Упростим:
$$frac{9a^2}{4} — 54a + a^2 = 0$$
$$10a^2 — 216a = 0$$
$$a(10a — 216) = 0$$
Отсюда получаем два возможных значения стороны АВ: a = 0 (что невозможно) или a = 21.6. Так как сторона АВ не может быть отрицательной, то a = 21.6 см.
Теперь можем найти высоту треугольника АВС:
$$h^2 = frac{3a^2}{4} — 18a + 81 = frac{3 cdot 21.6^2}{4} — 18 cdot 21.6 + 81 = 108$$
$$h = sqrt{108} = 6sqrt{3}$$
Ответ: высота ВМ равнобедренного треугольника АВС равна 6$sqrt{3}$ см.
