Вопрос школьника
На железнодорожной станции во время маневров от равномерно движущегося поезда был отцеплен последний вагон, который стал двигаться равнозамедленно, пока не остановился. Докажите, что пройденный отцепленным вагоном путь в 2 раза меньше пути, пройденного поездом за то же время.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой равноускоренного движения:
$$s = frac{1}{2}at^2 + v_0t,$$
где $s$ — пройденный путь, $a$ — ускорение, $t$ — время, $v_0$ — начальная скорость.
Пусть $s_1$ — путь, пройденный поездом за время $t$, $s_2$ — путь, пройденный отцепленным вагоном за то же время.
Так как поезд движется равномерно, то его ускорение равно нулю, т.е. $a_1 = 0$. Тогда формула принимает вид:
$$s_1 = v_1t,$$
где $v_1$ — скорость поезда.
Отцепленный вагон движется равнозамедленно, т.е. его ускорение равно противоположному ускорению поезда, т.е. $a_2 = -a_1 = 0$. Тогда формула принимает вид:
$$s_2 = frac{1}{2}a_2t^2 + v_{02}t,$$
где $v_{02}$ — начальная скорость отцепленного вагона.
Так как отцепленный вагон движется равнозамедленно, то его конечная скорость равна нулю, т.е. $v_{02} = 0$. Тогда формула принимает вид:
$$s_2 = frac{1}{2}a_2t^2 = 0,$$
т.е. отцепленный вагон остановится через время $t$.
Таким образом, пройденный отцепленным вагоном путь равен нулю, а пройденный поездом путь равен $s_1 = v_1t$.
Для доказательства того, что пройденный отцепленным вагоном путь в 2 раза меньше пути, пройденного поездом за то же время, нужно показать, что:
$$s_2 = frac{1}{2}s_1.$$
Подставим выражение для $s_1$:
$$s_2 = frac{1}{2}a_2t^2 + v_{02}t = frac{1}{2}v_1frac{t^2}{2} = frac{1}{2}s_1.$$
Таким образом, доказано, что пройденный отцепленным вагоном путь в 2 раза меньше пути, пройденного поездом за то же время.
