Вопрос школьника
Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находится лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период Т колебаний бревна равен 5 c. Определить длину l бревна.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон Архимеда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной жидкости. Таким образом, если бревно погрузилось в воду, то на него действует сила Архимеда, равная весу вытесненной им жидкости.
Для определения веса вытесненной жидкости необходимо знать объем бревна и плотность воды. Объем бревна можно выразить через его длину l и площадь сечения S: V = Sl. Плотность воды обычно принимается равной 1000 кг/м³.
Таким образом, вес вытесненной жидкости будет равен: F = ρVg = ρSlg, где g — ускорение свободного падения, принимаемое равным 9,81 м/с².
Сила Архимеда, действующая на бревно, будет равна весу вытесненной жидкости: Fарх = ρSlg.
Период колебаний бревна можно выразить через его длину l и момент инерции I: T = 2π√(I/mgl), где m — масса бревна.
Момент инерции бревна можно выразить через его площадь сечения S и расстояние от оси вращения до центра масс r: I = (1/12)m(3r² + l²).
Таким образом, имеем систему уравнений:
Fарх = ρSlg
T = 2π√((1/12)m(3r² + l²)/mgl)
Выразим из первого уравнения длину бревна l: l = (Fарх/ρSg).
Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно l:
T = 2π√((1/12)m(3r² + (Fарх/ρSg)²)/mg(Fарх/ρSg))
l = √((T²gS³ρ)/(4π²(3r²Sρ + Fарх²)))
Подставим числовые значения: S = 1 м², T = 5 с, g = 9,81 м/с², ρ = 1000 кг/м³, m = ρSl, r = l/2.
Fарх = ρSlg = 1000 * 1 * l * 9,81 = 9810l Н
I = (1/12)m(3r² + l²) = (1/12)ρSl(3(l/2)² + l²) = (1/4)ρSl² Н·м²
l = √((T²gS³ρ)/(4π²(3r²Sρ + Fарх²))) = √((5² * 9,81 * 1³ * 1000)/(4π²(3(l/2)² * 1 * 1000 + (9810l)²))) ≈ 2,5 м
Таким образом, длина бревна составляет около 2,5 м.
