Вопрос школьника
Начерти треугольник ABC со сторонами АВ = 4 см, ВС = 2 см, АС = 5 см. Построй треугольник A1B1C1, центрально-симметричный треугольнику ABC относительно вершины В. Является ли точка В центром симметрии четырехугольника ACAJCJ? Как это доказать?
Ответ от учителя
Для начала нарисуем треугольник ABC с заданными сторонами:
Для построения треугольника A1B1C1, центрально-симметричного треугольнику ABC относительно вершины В, нужно провести прямые, параллельные сторонам ABC и на расстоянии 2 см от стороны ВС. Точки пересечения этих прямых с соответствующими сторонами треугольника ABC будут вершинами треугольника A1B1C1.
Теперь перейдем к второй части вопроса. Четырехугольник ACAJCJ выглядит так:
Чтобы доказать, что точка В является центром симметрии этого четырехугольника, нужно показать, что отрезки BV и VJ равны и параллельны. Для этого можно воспользоваться свойством центральной симметрии: отрезок, соединяющий вершину треугольника с центром симметрии, делит этот отрезок пополам и параллелен противоположной стороне треугольника.
В нашем случае вершина В является центром симметрии треугольника ABC относительно вершины В. Значит, отрезок BV делит отрезок AC пополам и параллелен стороне BC. Также отрезок VJ делит отрезок AC пополам и параллелен стороне AJ. Значит, отрезки BV и VJ равны и параллельны, а точка В действительно является центром симметрии четырехугольника ACAJCJ.
