Вопрос школьника
Начертите развёрнутый угол АВС. Из точки В проведите луч ВВ так. чтобы угол СВР был равен 158°, и луч ВО так, чтобы угол А ВО был равен 165°. Найдите величину угла ОВР. Рассмотрите различные случаи
Ответ от учителя
Для начала нарисуем схему:
Здесь угол АВС — искомый развёрнутый угол.
Из условия задачи мы знаем, что угол СВР равен 158° и угол АВО равен 165°. Также мы знаем, что угол ВОР равен искомому углу АВС, так как они являются вертикальными углами.
Для нахождения угла ОВР воспользуемся формулой синусов для треугольника ВОР:
sin(ОВР) / RV = sin(ВОР) / VO
Здесь RV — расстояние от точки В до точки Р, VO — расстояние от точки В до точки О.
Мы знаем угол ВОР (он равен искомому углу ОВР), а также длины RV и VO можно найти с помощью теоремы Пифагора:
RV^2 = RB^2 + BV^2
VO^2 = VB^2 + BO^2
Здесь RB и BO — известные длины отрезков.
Теперь рассмотрим различные случаи:
1. Угол ОВР острый (меньше 90°)
В этом случае sin(ОВР) будет положительным, так как sin(угла) > 0 для острых углов. Подставляем известные значения:
sin(ОВР) / RV = sin(ВОР) / VO
sin(ОВР) / RB = sin(165° — ОВР) / BO
sin(ОВР) = (RB / RV) * (sin(165° — ОВР) / (BO / VO))
sin(ОВР) = (RB / RV) * (sin(165°) * cos(ОВР) — cos(165°) * sin(ОВР)) / (BO / VO)
sin(ОВР) = (RB / RV) * (0.9962 * cos(ОВР) — 0.0872 * sin(ОВР)) / (BO / VO)
sin(ОВР) = (RB / RV) * 0.9962 * cos(ОВР) — (RB / RV) * 0.0872 * sin(ОВР)
sin(ОВР) + (RB / RV) * 0.0872 * sin(ОВР) = (RB / RV) * 0.9962 * cos(ОВР)
sin(ОВР) * (1 + (RB / RV) * 0.0872) = (RB / RV) * 0.9962 * cos(ОВР)
ОВР = arcsin((RB / RV) * 0.9962 * cos(ОВР) / (1 + (RB / RV) * 0.0872))
Это уравнение нелинейное и его решение требует использования численных методов. Можно, например, воспользоваться методом Ньютона.
2. Угол ОВР тупой (больше 90°)
В этом случае sin(ОВР) будет отрицательным, так как sin(угла) < 0 для тупых углов. Подставляем известные значения: sin(ОВР) / RV = sin(ВОР) / VO sin(ОВР) / RB = sin(165° - ОВР) / BO sin(ОВР) = (RB / RV) * (sin(165° - ОВР) / (BO / VO)) sin(ОВР) = (RB / RV) * (sin(165°) * cos(ОВР) - cos(165°) * sin(ОВР)) / (BO / VO) sin(ОВР) = (RB / RV) * (0.9962 * cos(ОВР) - 0.0872 * sin(ОВР)) / (BO / VO) sin(ОВР) = (RB / RV) * 0.9962 * cos(ОВР) - (RB / RV) * 0.0872 * sin(ОВР) sin(ОВР) - (RB / RV) * 0.0872 * sin(ОВР) = (RB / RV) * 0.9962 * cos(ОВР) sin(ОВР) * (1 - (RB / RV) * 0.0872) = (RB / RV) * 0.9962 * cos(ОВР) ОВР = arcsin((RB / RV) * 0.9962 * cos(ОВР) / (1 - (RB / RV) * 0.0872)) Это уравнение также нелинейное и его решение требует использования численных методов. 3. Угол ОВР прямой (равен 90°) В этом случае sin(ОВР) равен 1, так как sin(угла) = 1 для прямых углов. Подставляем известные значения: sin(ОВР) / RV = sin(ВОР) / VO sin(ОВР) / RB = sin(165° - ОВР) / BO 1 / RV = sin(165°) / (BO / VO) RV = (BO / VO) / sin(165°) ОВР = 90° Таким образом, мы можем найти угол ОВР в различных случаях, используя формулу синусов и теорему Пифагора. Если угол ОВР острый или тупой, то для его нахождения необходимо использовать численные методы. Если же угол ОВР прямой, то его значение можно найти просто.
