Вопрос школьника
Начертите угол АВС, равный 120°. На стороне ВА отложите отрезок ВМ, равный 3 см, а на стороне ВС — отрезок BN, равный 4 см. Соедините отрезком точки М и N. Измерьте стороны и углы получившегося треугольника и найдите периметр и сумму градусных мер углов этого треугольника.
Ответ от учителя
Для начала нарисуем угол АВС, равный 120°:
Затем на стороне ВА отложим отрезок ВМ, равный 3 см, и на стороне ВС — отрезок BN, равный 4 см. Соединим точки М и N:
Теперь измерим стороны и углы получившегося треугольника. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов:
a² = b² + c² — 2bc*cos(A)
где a, b и c — стороны треугольника, A — противолежащий угол.
Для стороны МН:
MN² = BM² + BN² — 2BM*BN*cos(120°)
MN² = 3² + 4² — 2*3*4*(-0.5)
MN² = 25
MN = 5 см
Для стороны СМ:
SM² = SA² + AM² — 2SA*AM*cos(120°)
SM² = 3² + 5² — 2*3*5*(-0.5)
SM² = 19
SM ≈ 4,36 см
Для стороны СН:
SN² = SC² + CN² — 2SC*CN*cos(60°)
SN² = 4² + 5² — 2*4*5*0.5
SN² = 9
SN = 3 см
Теперь найдем углы треугольника. Для этого можно воспользоваться теоремой синусов:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
где a, b и c — стороны треугольника, A, B и C — соответствующие противолежащие углы.
Для угла М:
sin(M) = MN/SM
sin(M) = 5/4,36
M ≈ 70,53°
Для угла С:
sin(C) = SN/SM
sin(C) = 3/4,36
C ≈ 41,81°
Для угла Н:
Н = 180° — М — C
Н ≈ 67,66°
Теперь можно найти периметр треугольника:
P = SM + SN + MN
P = 4,36 + 3 + 5
P = 12,36 см
И сумму градусных мер углов:
М + С + Н = 70,53° + 41,81° + 67,66°
М + С + Н = 180°
Ответ: стороны треугольника МНС равны 5 см, 4,36 см и 3 см, углы равны примерно 70,53°, 41,81° и 67,66°, периметр равен 12,36 см, сумма градусных мер углов равна 180°.
