Вопрос школьника
Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной вне сферы, до точек сферы равны соответственно 50 см и 20 см. Найдите радиус данной сферы.
Ответ от учителя
Пусть данная точка находится на расстоянии d от центра сферы. Тогда по теореме Пифагора для треугольника, образованного центром сферы, данной точкой и точкой на сфере, имеем:
$(d+20)^2 + r^2 = (d+50)^2$
$d^2 + 40d + 400 + r^2 = d^2 + 100d + 2500$
$60d = 2100 — r^2$
$d = frac{2100 — r^2}{60}$
Аналогично, для наименьшего расстояния:
$(d-20)^2 + r^2 = (d+50)^2$
$d^2 — 40d + 400 + r^2 = d^2 + 100d + 2500$
$-140d = 2100 — r^2$
$d = frac{r^2 — 2100}{140}$
Приравнивая эти два выражения для d, получаем:
$frac{2100 — r^2}{60} = frac{r^2 — 2100}{140}$
$140(2100 — r^2) = 60(r^2 — 2100)$
$140r^2 + 84000 = 60r^2 — 126000$
$80r^2 = -42000$
$r^2 = -525$
Так как радиус должен быть положительным, полученный результат невозможен. Следовательно, задача не имеет решения.
