Вопрос школьника
Наименьший объём газа участвующего в цикле Карно V1 = 0,153 м3. Определить наибольший объём этого газа V3, если в конц изотермического расширения объём газа составляет V2 = 0,6 м3, а в конце изотермичкогоес сжатия — V4 = 0, 189 м3.
Ответ от учителя
Цикл Карно состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов. Объем газа в процессе изотермического расширения изменяется по закону Бойля-Мариотта: PV = const. Поэтому можно записать:
P1V1 = P2V2
где P1 и P2 — давления газа в начале и конце изотермического расширения соответственно.
Аналогично, в процессе изотермического сжатия:
P3V3 = P4V4
где P3 и P4 — давления газа в начале и конце изотермического сжатия соответственно.
Также известно, что в процессе адиабатического расширения и сжатия изменяется температура газа, но не изменяется его внутренняя энергия. Поэтому можно записать:
P1V1^γ = P3V3^γ
P2V2^γ = P4V4^γ
где γ — показатель адиабаты.
Из этих уравнений можно выразить P1 и P3 через P2 и P4:
P1 = P2(V2/V1)^γ
P3 = P4(V4/V3)^γ
Также известно, что в процессе адиабатического расширения и сжатия изменяется энтропия газа, но не изменяется его энтальпия. Поэтому можно записать:
(T1/T2)^(γ-1) = (T3/T4)^(γ-1)
где T1 и T3 — температуры газа в начале адиабатического расширения и сжатия соответственно, T2 и T4 — температуры газа в конце этих процессов.
Из этого уравнения можно выразить T3 через T1, T2 и T4:
T3 = T4(T1/T2)^(γ-1)
Теперь можно выразить V3 через V1, V2 и V4:
V3 = V4(T1/T2)^(1-γ) (V2/V1)^γ
Подставляя известные значения, получаем:
V3 = 0,189*(T1/T2)^(1-γ) (0,6/0,153)^γ
Осталось найти T1 и T2. В процессе изотермического расширения температура газа не изменяется, поэтому T1 = T2. В процессе адиабатического расширения температура газа уменьшается, поэтому T2 < T4. Из уравнения для энтропии можно выразить отношение T1/T2 через отношение P1/P2: (T1/T2)^(γ-1) = (P1/P2)^(1-γ) T1/T2 = (P1/P2)^((1-γ)/(γ-1)) Подставляя известные значения, получаем: T1/T2 = (P2/P1)^((γ-1)/γ) P1/P2 = V2/V1 = 0,6/0,153 = 3,92 Подставляя значения γ = 1,4 и P1/P2 = 3,92, получаем: T1/T2 = 0,535 Теперь можно вычислить V3: V3 = 0,189*(0,535)^(1-1,4) (0,6/0,153)^1,4 ≈ 1,17 м3 Таким образом, наибольший объем газа в цикле Карно равен примерно 1,17 м3.
