Вопрос школьника
Найдите биссектрису АМ, проведённую к основанию ВС равнобедренного треугольника АВС, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см (сделайте чертёж)
Ответ от учителя
Для начала нарисуем треугольник АВС:
Так как треугольник АВС равнобедренный, то стороны АВ и АС равны. Обозначим их длину через х:
AB = AC = x
Также из условия задачи известно, что периметр треугольника АВС равен 32 см:
AB + AC + BC = 32
x + x + BC = 32
BC = 32 — 2x
Теперь нарисуем треугольник АВМ и обозначим его периметр через Р:
AB + AM + BM = P
x + AM + BM = 24
AM + BM = 24 — x
Так как треугольник АВС равнобедренный, то биссектриса АМ будет являться медианой и высотой, а также делить сторону ВС на две равные части. Обозначим точку пересечения биссектрисы и стороны ВС через D:
Так как биссектриса делит сторону ВС на две равные части, то:
BD = DC = (BC / 2) = (32 — 2x) / 2 = 16 — x
Также из свойств биссектрисы известно, что отношение длины стороны АВ к длине стороны ВМ равно отношению длины стороны АD к длине стороны DM:
AB / BM = AD / DM
x / (24 — x) = AD / DM
AD = (x * DM) / (24 — x)
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АDM:
AD^2 + DM^2 = AM^2
((x * DM) / (24 — x))^2 + DM^2 = (24 — x)^2
x^2 * DM^2 + DM^4 = (24 — x)^2 * (24 — x)^2
DM^4 + x^2 * DM^2 — (24 — x)^2 * (24 — x)^2 = 0
Решив это уравнение относительно DM, получим:
DM^2 = [(24 — x)^2 — x^2 + sqrt((24 — x)^4 — 4 * x^2 * (24 — x)^2)] / 2
DM^2 = [(24 — x)^2 — x^2 + sqrt((24 — x)^2 * (24 — x)^2 — 4 * x^2 * (24 — x)^2)] / 2
DM^2 = [(24 — x)^2 — x^2 + (24 — x) * x] / 2
DM^2 = (24 — x) * (12 — x)
Теперь найдем длину биссектрисы АМ, воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольника АМD:
AM^2 = AD^2 + DM^2
AM^2 = [(x * DM) / (24 — x)]^2 + (24 — x) * (12 — x)
AM^2 = x^2 * DM^2 / (24 — x)^2 + (24 — x) * (12 — x)
AM^2 = x^2 * (24 — x) * (12 — x) / (24 — x)^2 + (24 — x) * (12 — x)
AM^2 = x^2 * (12 — x) / (24 — x) + (24 — x) * (12 — x)
AM^2 = (12x^2 — x^3 + 288 — 36x) / (24 — x)
AM^2 = (12x^2 — x^3 + 288 — 36x) / (24 — x)
AM^2 = (x^3 — 12x^2 + 36x — 288) / (x — 24)
Теперь найдем длину биссектрисы АМ, воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольника АМD:
AM^2 = AD^2 + DM^2
AM^2 = [(x * DM) / (24 — x)]^2 + (24 — x) * (12 — x)
AM^2 = x^2 * DM^2 / (24 — x)^2 + (24 — x) * (12 — x)
AM^2 = x^2 * (24 — x) * (12 — x) / (24 — x)^2 + (24 — x) * (12 — x)
AM^2 = x^2 * (12 — x) / (24 — x) + (24 — x) * (12 — x)
AM^2 = (12x^2 — x^3 + 288 — 36x) / (24 — x)
AM^2 = (x^3 — 12x^2 + 36x — 288) / (x — 24)
AM^2 = [(x — 24) * (x^2 — 12x + 288)] / (x — 24)
AM^2 = x^2 — 12x + 288
AM = sqrt(x^2 — 12x + 288)
Теперь подставим выражение для DM^2 и найдем длину биссектрисы АМ:
AM = sqrt(x^2 — 12x + 288) = sqrt((24 — x) * (12 — x))
(x^2 — 12x + 288) = (24 — x) * (12 — x)
x^2 — 12x + 288 = 288 — 36x + x^2
24x = 288
x = 12
Таким образом, стороны треугольника АВС равны AB = AC = 12 см, а сторона ВС равна BC = 8 см. Длина биссектрисы АМ равна:
AM = sqrt(x^2 — 12x + 288) = sqrt(144 — 144 + 288) = sqrt(144) = 12 см
Ответ: биссектриса АМ равна 12 см.
