Вопрос школьника
Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах a = bp + 2q и b-р- 3 q, если |p| = 2корень2, |q| = 3 и pq = 45°
Ответ от учителя
Для начала найдем векторы a и b-р:
a = bp + 2q
b-р = b — 3q
где b и p — векторы, а q — единичный вектор, образующий угол 45 градусов с вектором p.
Для нахождения вектора b выразим его через b-р и q:
b = b-р + 3q
Теперь найдем длины векторов a и b-р:
|a| = √(b²p² + 4bpq + 4q²)
|b-р| = √(b²p² — 6bpq + 9q²)
Заметим, что b²p² = (b-р + 3q)²p² = b-р²p² + 6bpq + 9q², поэтому:
|b-р| = √(b²p² — 6bpq + 9q²) = √(b-р²p² + 3bpq)
Теперь найдем угол между векторами a и b-р:
cos(α) = (a, b-р) / (|a| * |b-р|)
(a, b-р) = (bp + 2q, b-р) = bp² — 3bpq + 2q * b-р
|a| * |b-р| = √(b-р²p² + 3bpq) * √(b-р²p² — 6bpq + 9q²)
Подставим все значения и упростим:
cos(α) = (bp² — 3bpq + 2q * b-р) / √(b-р²p² + 3bpq) * √(b-р²p² — 6bpq + 9q²)
cos(α) = (b-р²p² + 3bpq — 6bpq + 2b-рq²) / √(b-р²p² + 3bpq) * √(b-р²p² — 6bpq + 9q²)
cos(α) = (b-р²p² — 3bpq + 2b-рq²) / √(b-р²p² + 3bpq) * √(b-р²p² — 6bpq + 9q²)
cos(α) = (b-р²p² — 3bpq + 2b-рq²) / √((b-р²p² — 3bpq) * (b-р²p² — 6bpq + 9q²))
cos(α) = (b-р²p² — 3bpq + 2b-рq²) / √((b-р²p² — 3bpq) * (b-р²p² — 3bpq + 6q²))
cos(α) = (b-р²p² — 3bpq + 2b-рq²) / √((b-р²p² — 3bpq)² + 6q²(b-р²p² — 3bpq) + 9q⁴)
Теперь можем найти длины диагоналей параллелограмма:
d₁ = √(a² + b-р² — 2ab-рcos(α))
d₂ = √(a² + b-р² + 2ab-рcos(α))
Подставим все значения и упростим:
d₁ = √(b-р²p² + 4bpq + 4q² + b-р²p² — 3bpq + 2b-рq² — 2bp² + 6bpq — 4b-рq²cos(α))
d₂ = √(b-р²p² + 4bpq + 4q² + b-р²p² — 3bpq + 2b-рq² + 2bp² — 6bpq + 4b-рq²cos(α))
d₁ = √(2b-р²p² + b²p² + 6b-рq² — 2bp² — 2b-рq²cos(α))
d₂ = √(2b-р²p² + b²p² + 6b-рq² + 2bp² + 2b-рq²cos(α))
Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны:
d₁ = √(2b-р²p² + b²p² + 6b-рq² — 2bp² — 2b-рq²cos(α))
d₂ = √(2b-р²p² + b²p² + 6b-рq² + 2bp² + 2b-рq²cos(α))
