Вопрос школьника
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная к основанию, равна h, а радиус вписанной окружности равен r.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и вписанной окружности.
Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, которые являются основанием и две равные углы при основании. Поэтому, если обозначить длину основания равнобедренного треугольника как b, то его другие две стороны также будут равны b.
Высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катет h и гипотенузу b/2. Используя теорему Пифагора, мы можем выразить длину стороны треугольника через высоту:
b^2 = (b/2)^2 + h^2
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:
b^2 = b^2/4 + h^2
Умножим обе части уравнения на 4:
4b^2 = b^2 + 4h^2
Выразим b^2:
3b^2 = 4h^2
b^2 = 4h^2/3
Теперь мы можем выразить длину основания равнобедренного треугольника через радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности является расстоянием от центра окружности до каждой стороны треугольника. Обозначим его как r.
Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, является биссектрисой угла при основании. Биссектриса делит основание на две части, пропорциональные длинам других двух сторон треугольника. Поэтому, если обозначить половину длины основания как a, то:
a/b = r/(b/2)
Упростим выражение:
2a/b = r
a = rb/b
a = r
Таким образом, длина половины основания равна радиусу вписанной окружности. Полная длина основания равнобедренного треугольника будет равна:
b = 2r
Итак, мы получили формулу для вычисления длины основания равнобедренного треугольника через высоту и радиус вписанной окружности:
b = 2r
h = √(4r^2/3)
