Вопрос школьника
Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключённого между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательной, проведенной к окружности из внешней точки. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, $r_1 = 23$ и $r_2 = 7$ — их радиусы, $AB$ — искомая общая касательная, $M$ — точка касания $AB$ с окружностью $O_1$, $N$ — точка касания $AB$ с окружностью $O_2$, $P$ — точка пересечения $O_1O_2$ и $AB$.
По условию задачи $O_1O_2 = 34$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1PO_2$. Из него следует, что $PO_1 = frac{1}{2} cdot O_1O_2 = 17$, $PO_2 = frac{1}{2} cdot O_2O_1 = 17$. Также из этого треугольника можно найти $OP = sqrt{O_1P^2 + O_2P^2} = sqrt{17^2 + 23^2} = sqrt{978}$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MNP$. Из него следует, что $MN = NP — MP$. Найдем $NP$ и $MP$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $O_1PN$ и $O_2PM$:
$NP^2 = O_1P^2 — O_1N^2 = 17^2 — 7^2 = 240$
$MP^2 = O_2P^2 — O_2M^2 = 17^2 — 23^2 = -240$
Заметим, что $MP^2 = -240$, что невозможно для длины отрезка. Это означает, что общей касательной соответствует одна точка касания, а не две. Следовательно, длина отрезка общей касательной равна нулю.
