Вопрос школьника
Найдите геометрическое место точек М плоскости таких, что отрезок касательной, проведённой из М к данной окружности, равен данному отрезку.
Ответ от учителя
Геометрическое место точек М плоскости, удовлетворяющих условию задачи, является окружностью.
Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную точку М на плоскости и проведем из нее касательную к данной окружности. Обозначим точку касания как Т, а центр окружности как О. Пусть отрезок, соединяющий точки М и Т, равен отрезку AB.
Так как точка Т лежит на касательной, то угол MTО прямой. Также угол AТО также прямой, так как Т является точкой касания. Значит, угол MTА также прямой.
Таким образом, получаем, что треугольник MTА является прямоугольным. Поэтому, по теореме Пифагора, МО^2 = АО^2 — АМ^2.
Так как отрезок АМ задан, то геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию задачи, является окружностью с центром в точке О и радиусом, равным длине отрезка АМ.
