Вопрос школьника
Найдите геометрическое место вершин параллелограммов, равновеликих данному и имеющих с ним одну общую сторону.
Ответ от учителя
Геометрическое место вершин параллелограммов, равновеликих данному и имеющих с ним одну общую сторону, является прямой, проходящей через середину этой общей стороны и перпендикулярной ей.
Для доказательства этого факта рассмотрим два параллелограмма, равновеликих данному и имеющих с ним одну общую сторону AB. Пусть точки C и D являются вершинами этих параллелограммов, причем C лежит на продолжении AB за точку B, а D лежит на продолжении AB за точку A (см. рисунок).
Так как параллелограммы равновеликие, то их высоты, опущенные на общую сторону AB, равны. Обозначим эти высоты через h.
Также заметим, что угол между высотой параллелограмма и его основанием равен углу между высотой другого параллелограмма и его основанием (так как параллелограммы равновеликие). Обозначим этот угол через α.
Тогда высота параллелограмма CABC равна h*cos(α), а высота параллелограмма DABD равна h*cos(α) (так как угол α одинаков для обоих параллелограммов). Таким образом, высоты обоих параллелограммов равны.
Теперь рассмотрим середину общей стороны AB, обозначим ее через M. Так как высоты параллелограммов равны, то точки C и D лежат на одной окружности с центром в точке M и радиусом h.
Также заметим, что угол между стороной AB и стороной BC равен углу между стороной AB и стороной AD (так как параллелограммы равновеликие). Обозначим этот угол через β.
Тогда угол BMC равен 180°-2β, а угол AMD равен 180°-2β (так как угол β одинаков для обоих параллелограммов). Таким образом, углы BMC и AMD равны.
Из этого следует, что точки C и D лежат на одной прямой, проходящей через середину общей стороны AB и перпендикулярной ей. Обратно, любая точка на этой прямой может быть вершиной параллелограмма, равновеликого данному и имеющего с ним одну общую сторону.
Таким образом, геометрическое место вершин параллелограммов, равновеликих данному и имеющих с ним одну общую сторону, является прямой, проходящей через середину этой общей стороны и перпендикулярной ей.
