Вопрос школьника
Найдите координаты середин K, L, M, N сторон четырехугольника ABCD, середин P и Q диагоналей четырехугольника KLMN, учитывая, что:
а)A(5; -1), B(-3; -5), C(7; 5), D(3; -3); б) A(-2; -5), B(6; 5), C(4; -3), D(2; 3).
Какую гипотезу вы можете выдвинуть? Как ее обосновать?
Ответ от учителя
а) Для нахождения координат середин сторон четырехугольника ABCD воспользуемся формулой для нахождения середины отрезка:
$$M_{AB} = left(frac{x_A + x_B}{2}, frac{y_A + y_B}{2}right)$$
$$M_{BC} = left(frac{x_B + x_C}{2}, frac{y_B + y_C}{2}right)$$
$$M_{CD} = left(frac{x_C + x_D}{2}, frac{y_C + y_D}{2}right)$$
$$M_{DA} = left(frac{x_D + x_A}{2}, frac{y_D + y_A}{2}right)$$
Подставляем координаты точек и получаем:
$$M_{AB} = (1, -3)$$
$$M_{BC} = (2, 0)$$
$$M_{CD} = (5, 1)$$
$$M_{DA} = (4, -2)$$
Для нахождения координат середин диагоналей четырехугольника KLMN воспользуемся формулой для нахождения середины отрезка:
$$P = left(frac{x_K + x_M}{2}, frac{y_K + y_M}{2}right)$$
$$Q = left(frac{x_L + x_N}{2}, frac{y_L + y_N}{2}right)$$
Подставляем координаты точек и получаем:
$$P = (3, 0)$$
$$Q = (3, -1)$$
Гипотеза: точки P и Q имеют одинаковую абсциссу, что говорит о том, что диагонали четырехугольника KLMN параллельны оси OY.
Обоснование: координаты точек P и Q имеют вид (x, y), где x — абсцисса, y — ордината. Так как координаты точки P равны (3, 0), а координаты точки Q равны (3, -1), то можно сделать вывод, что абсциссы этих точек равны. Следовательно, диагонали четырехугольника KLMN параллельны оси OY.
