Вопрос школьника
Найдите координаты точек плоскости, в которых кубическая парабола у = х^3 пересекается с прямой у = х. Укажите промежутки значений х, в которых прямая расположена выше кубической параболы.
Ответ от учителя
Для того чтобы найти точки пересечения кубической параболы у = х^3 с прямой у = х, необходимо решить уравнение:
х^3 = х
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
х^3 — х = 0
Факторизуем это уравнение:
х(х^2 — 1) = 0
Таким образом, получаем две точки пересечения:
х1 = 0
х2 = -1
х3 = 1
Теперь необходимо определить, в каких промежутках значений х прямая у = х расположена выше кубической параболы у = х^3.
Для этого сравним значения функций на этих промежутках. При х < -1 кубическая парабола принимает отрицательные значения, а прямая у = х - положительные. Следовательно, прямая расположена выше кубической параболы на этом промежутке. При -1 < х < 0 кубическая парабола принимает отрицательные значения, а прямая у = х - положительные. Следовательно, прямая расположена выше кубической параболы на этом промежутке. При 0 < х < 1 кубическая парабола принимает положительные значения, а прямая у = х - также положительные. Следовательно, прямая расположена ниже кубической параболы на этом промежутке. При х > 1 кубическая парабола принимает положительные значения, а прямая у = х — также положительные. Следовательно, прямая расположена выше кубической параболы на этом промежутке.
Таким образом, промежутки значений х, в которых прямая расположена выше кубической параболы, это:
х < -1 -1 < х < 0 х > 1
