Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Найдите наибольший объём правильной четырёхугольной призмы, у которой периметр диагонального сечения равен 6
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для объема правильной четырехугольной призмы:
V = S * h,
где V — объем призмы, S — площадь основания, h — высота призмы.
Для того чтобы найти максимальный объем призмы, необходимо максимизировать площадь основания. При этом, учитывая условие задачи, что периметр диагонального сечения равен 6, можно сделать вывод, что основание призмы является ромбом со стороной d = 6/2 = 3.
Таким образом, площадь основания S = d^2 * sin(α), где α — угол между диагоналями ромба.
Для правильной четырехугольной призмы угол α равен 90 градусов, поэтому S = d^2 = 9.
Высота призмы h можно найти, зная длину боковой грани призмы. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю ромба и боковой гранью призмы:
h^2 = (d/2)^2 + (a/2)^2,
где a — длина боковой грани призмы.
Так как призма правильная, то a = d, поэтому:
h^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 = d^2/2,
h = d/√2.
Таким образом, объем призмы:
V = S * h = 9 * 3/√2 = 27/√2.
Для удобства можно упростить ответ, умножив числитель и знаменатель на √2:
V = (27/√2) * (√2/√2) = 27√2.
Ответ: наибольший объем правильной четырехугольной призмы, у которой периметр диагонального сечения равен 6, равен 27√2.
