Вопрос школьника
Найдите наименьшее значение функции: а) у = х2 — 10х + 1; б) у = 2х2 + 8х — 5; в) у = Зх2 + 6х + 7; г) у = 4х2 + 12х + 9.
Ответ от учителя
Для нахождения наименьшего значения функции необходимо найти координаты точки минимума функции. Для этого воспользуемся формулой для нахождения координат вершины параболы:
$x_0 = -frac{b}{2a}$, $y_0 = f(x_0)$
где $a$, $b$, $c$ — коэффициенты квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$, а $f(x)$ — функция, заданная квадратным уравнением.
а) $y = x^2 — 10x + 1$
$a = 1$, $b = -10$, $c = 1$
$x_0 = -frac{-10}{2cdot1} = 5$
$y_0 = 5^2 — 10cdot5 + 1 = -24$
Точка минимума функции имеет координаты $(5, -24)$, наименьшее значение функции равно $-24$.
б) $y = 2x^2 + 8x — 5$
$a = 2$, $b = 8$, $c = -5$
$x_0 = -frac{8}{2cdot2} = -1$
$y_0 = 2cdot(-1)^2 + 8cdot(-1) — 5 = -15$
Точка минимума функции имеет координаты $(-1, -15)$, наименьшее значение функции равно $-15$.
в) $y = 3x^2 + 6x + 7$
$a = 3$, $b = 6$, $c = 7$
$x_0 = -frac{6}{2cdot3} = -1$
$y_0 = 3cdot(-1)^2 + 6cdot(-1) + 7 = 4$
Точка минимума функции имеет координаты $(-1, 4)$, наименьшее значение функции равно $4$.
г) $y = 4x^2 + 12x + 9$
$a = 4$, $b = 12$, $c = 9$
$x_0 = -frac{12}{2cdot4} = -1.5$
$y_0 = 4cdot(-1.5)^2 + 12cdot(-1.5) + 9 = 0.75$
Точка минимума функции имеет координаты $(-1.5, 0.75)$, наименьшее значение функции равно $0.75$.
