Вопрос школьника
Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренного треугольника равно x, а высота, проведенная к основанию, равна h. Также пусть радиус вписанной окружности равен r.
Так как центр вписанной окружности делит высоту в отношении 12:5, то можно записать:
h = 12k
h — x = 5k
где k — некоторое число.
Выразим из этих уравнений x:
x = h — 5k = 12k — 5k = 7k
Теперь воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности:
r = S / p
где S — площадь треугольника, p — полупериметр.
Так как треугольник равнобедренный, то его площадь можно выразить через боковую сторону:
S = (1/2) * x * h
Также из равенства сторон треугольника можно выразить боковую сторону через радиус вписанной окружности:
b = 2r * sin(α/2)
где α — угол при основании.
Так как треугольник равнобедренный, то α/2 равен углу между боковой стороной и высотой, проведенной к основанию. Этот угол можно найти, используя теорему косинусов:
cos(α/2) = (x/2) / r
Таким образом, мы получаем систему уравнений:
r = (1/2) * x * h / p
b = 2r * sin(α/2)
cos(α/2) = (x/2) / r
Подставляя выражение для x через k, получаем:
r = (1/2) * 7k * 12k / (3 * 60)
b = 2r * sin(arccos(5/12))
cos(arcsin(7k/2r)) = k
Вычислив радиус и боковую сторону, можно найти основание треугольника:
x = 2b / tan(α/2)
Таким образом, решая эту систему уравнений, можно найти основание равнобедренного треугольника.
