Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Найдите отношение оснований трапеции, если её диагонали делят среднюю линию трапеции на три равные части.
Ответ от учителя
Пусть трапеция ABCD имеет основания AB и CD, а её диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть также M — середина стороны AD, N — середина стороны BC, а P — точка пересечения средней линии MN и диагонали AC.
Так как диагонали трапеции делят среднюю линию на три равные части, то MP = PN = 1/3 MN. Также известно, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: MN = 1/2 (AB + CD).
Рассмотрим треугольники AMP и CNP. Они равнобедренные, так как AM = MP и CN = NP (по определению средней линии). Также у них равны углы при вершине P, так как они соответственно вертикальные и дополнительные. Значит, они подобны.
Отсюда следует, что соотношение длин оснований трапеции равно отношению длин боковых сторон равнобедренных треугольников AMP и CNP:
AB/CD = AM/CN = MP/NP = 1/2.
Таким образом, отношение оснований трапеции равно 1/2.
