Вопрос школьника
Найдите отношение площади правильного шестиугольника, описанного около окружности, к площади правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность.
Ответ от учителя
Пусть R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности, a — длина стороны правильного шестиугольника.
Тогда, по формуле для площади правильного шестиугольника, его площадь равна:
S = 6 * (a^2 * sqrt(3))/4 = 3 * a^2 * sqrt(3)
Для описанной окружности:
R = a/(2 * sin(pi/6)) = a/sqrt(3)
Площадь описанного шестиугольника равна:
S1 = 6 * (R^2 * sqrt(3))/4 = 3 * a^2
Для вписанной окружности:
r = a/(2 * tan(pi/6)) = a/(2 * sqrt(3))
Площадь вписанного шестиугольника равна:
S2 = 6 * (r^2 * sqrt(3))/4 = 3 * a^2/4
Отношение площадей равно:
S1/S2 = (3 * a^2)/(3 * a^2/4) = 4
Таким образом, площадь описанного шестиугольника в 4 раза больше площади вписанного шестиугольника.
