Вопрос школьника
Найдите отношение радиусов двух окружностей, касающихся между собой, если каждая из них касается сторон угла, величина которого равна а.
Ответ от учителя
Пусть дан угол ABC, величина которого равна а. Пусть также даны две окружности, которые касаются между собой и каждая из них касается сторон угла ABC. Пусть радиус первой окружности равен r1, а радиус второй окружности равен r2.
Так как каждая из окружностей касается сторон угла ABC, то расстояние от центра каждой окружности до вершины угла ABC равно ее радиусу. Обозначим это расстояние через h.
Тогда, по теореме Пифагора, получаем:
r1^2 = h^2 + (BC/2)^2
r2^2 = h^2 + (AC/2)^2
где BC и AC — длины сторон угла ABC.
Так как стороны угла ABC равны между собой, то BC = AC = 2r, где r — радиус вписанной окружности в угол ABC.
Подставляя это выражение в формулы для r1 и r2, получаем:
r1^2 = h^2 + r^2
r2^2 = h^2 + r^2
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
r2^2 — r1^2 = (h^2 + r^2) — (h^2 + r^2) = 0
Отсюда следует, что r1 = r2. Таким образом, отношение радиусов двух окружностей, касающихся между собой и каждая из которых касается сторон угла, величина которого равна а, равно 1:1.
