Вопрос школьника
Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 5 см, а прямая, проведенная через середину диагонали и перпендикулярная к ней, проходит через вершину параллелограмма.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать свойства параллелограмма. Одно из них гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Также, если мы проведем диагональ параллелограмма, то она будет делить его на два равных треугольника.
Пусть дан параллелограмм ABCD, где AB = 5 см. Проведем диагональ AC и через ее середину M проведем прямую, перпендикулярную к AC и проходящую через вершину B. Обозначим точку пересечения этой прямой с BC как N.
Так как AM является медианой треугольника ABC, то BM = MC. Также, так как BN перпендикулярна к AC, то треугольник BNC прямоугольный и BN = NC.
Теперь мы можем выразить стороны параллелограмма через BM и BN. Так как AB = CD, то CD = AB = 5 см. Также, так как AD || BC, то AD = BC. Из треугольника ABD мы можем выразить AD через BM: AD = 2BM. Из треугольника BNC мы можем выразить BC через BN: BC = 2BN.
Теперь мы можем выразить периметр параллелограмма через BM и BN:
P = AB + BC + CD + AD = 5 + 2BN + 5 + 2BM = 10 + 2(BM + BN)
Нам нужно найти BM и BN. Рассмотрим треугольник BNC. Из него мы можем выразить BN через BM:
BN^2 + BM^2 = BC^2 = 4BN^2
3BN^2 = BM^2
BN = BM / √3
Теперь мы можем выразить периметр через BM:
P = 10 + 2(BM + BM / √3) = 10 + 2BM(1 + 1 / √3)
P = 10 + 4BM / (√3 + 1)
Нам осталось найти BM. Рассмотрим треугольник BNM. Из него мы можем выразить BM через BN:
BN^2 + BM^2 = BN^2 / 3
BM^2 = 2BN^2 / 3
BM = BN / √(2/3)
Теперь мы можем выразить периметр через BN:
P = 10 + 4BN / (√3 + 1) * (1 + 2 / √3)
P = 10 + 4BN * (√3 + 2) / (√3 + 1)
Осталось только подставить значение BN:
P = 10 + 4 * 5 / (√3 + 1) * (√3 + 2) / (√3 + 1)
P = 10 + 20(√3 + 2) / 2
P = 10 + 10√3 + 20
P = 30 + 10√3
Ответ: периметр параллелограмма равен 30 + 10√3 см.
