Вопрос школьника
Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.
Ответ от учителя
Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, а гипотенузу c. Тогда биссектриса острого угла делит противолежащий катет b на отрезки x и y, причем:
x/y = a/c
Так как x + y = b, то можно выразить x и y через b:
x = bx/(x+y) = b(a/c)/(a/c+1) = ab/(a+c)
y = by/(x+y) = b(c/a)/(c/a+1) = bc/(a+c)
Теперь можно выразить периметр треугольника через a и b:
P = a + b + c = a + b + sqrt(a^2 + b^2)
Заменим b на x + y и выразим x и y через a:
P = a + x + y + sqrt(a^2 + (x+y)^2) = a + ab/(a+c) + bc/(a+c) + sqrt(a^2 + (ab/(a+c)+bc/(a+c))^2)
Учитывая, что x = 24 см, y = 51 см, можно подставить значения и вычислить периметр:
P = a + 24 + 51 + sqrt(a^2 + (24a/(a+c)+51c/(a+c))^2) = a + 75 + sqrt(a^2 + (24a+51c)^2/(a+c)^2)
Для нахождения значения a и c можно воспользоваться теоремой Пифагора:
a^2 + c^2 = b^2 = (x+y)^2 = 24^2 + 51^2 = 3129
Таким образом, система уравнений для нахождения a и c имеет вид:
x/y = a/c
a^2 + c^2 = 3129
Решив ее, получим:
a = 168
c = 75
Подставляя значения a и c в формулу для периметра, получаем:
P = 168 + 75 + sqrt(168^2 + (24*168+51*75)^2/(168+75)^2) ≈ 438.6 см
Ответ: периметр прямоугольного треугольника равен примерно 438.6 см.
