Вопрос школьника
Найдите плошадь общей части четырёх единичных кругов, центры которых находятся в вершинах единичного квадрата.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться геометрическим подходом. Рассмотрим единичный квадрат и четыре единичных круга, центры которых находятся в его вершинах. Обозначим центры кругов буквами A, B, C и D, а точки пересечения кругов – E, F, G и H (см. рисунок).
Заметим, что точки E, F, G и H образуют квадрат со стороной, равной диаметру круга (то есть 2 единицы). Поэтому площадь этого квадрата равна 4 квадратным единицам.
Теперь рассмотрим каждый из кругов отдельно. Площадь единичного круга равна π (пи) квадратным единицам. Поэтому площадь четырех кругов равна 4π квадратным единицам.
Однако, мы посчитали площадь пересечений кругов дважды – как часть площади каждого из кругов. Поэтому нужно вычесть площадь пересечений из общей площади кругов.
Площадь пересечения двух кругов равна разности площадей секторов, ограниченных общей дугой и радиусами кругов. При этом угол сектора равен 60 градусам, так как центры кругов находятся на расстоянии 1 друг от друга (см. рисунок).
Площадь сектора равна (60/360)π = (1/6)π квадратным единицам. Поэтому площадь пересечения двух кругов равна (1/6)π квадратным единицам.
Таким образом, площадь пересечения четырех кругов равна 4*(1/6)π = (2/3)π квадратным единицам.
Итак, общая площадь четырех кругов равна 4π квадратным единицам, а площадь их пересечения – (2/3)π квадратным единицам. Поэтому площадь общей части четырех кругов равна:
4 — (2/3)π ≈ 1.62 квадратных единиц.
