Вопрос школьника
Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках, симметричных данной точке относительно середин сторон данного четырехугольника с площадью S.
Ответ от учителя
Пусть дан четырехугольник ABCD с площадью S. Пусть точка M — произвольная точка внутри четырехугольника. Тогда построим точки P, Q, R, S — симметричные точки относительно середин сторон AB, BC, CD, DA соответственно.
Таким образом, мы получили новый четырехугольник MPQR, который является параллелограммом, так как противоположные стороны параллельны и равны (так как они являются средними линиями в треугольниках ABM, BCM, CDM, DAM).
Площадь параллелограмма MPQR равна произведению его высоты на любую из его сторон. Высота параллелограмма MPQR равна расстоянию между параллельными сторонами AB и CD (или BC и AD), которое равно расстоянию между точками M и его симметричной точкой относительно прямой AB (или CD).
Таким образом, площадь четырехугольника MPQR равна S/2, так как высота параллелограмма MPQR равна половине высоты четырехугольника ABCD.
Ответ: площадь четырехугольника MPQR равна S/2.
