Вопрос школьника
Найдите площадь круга, описанного около:
а) правильного треугольника со стороной а;
б) равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной 10 см, и высотой, проведенной к основанию, равной 8 см;
в) равнобедренного треугольника с боковой стороной а и углом при вершине а.
Ответ от учителя
а) Пусть R — радиус описанной окружности, тогда по теореме Пифагора в правильном треугольнике со стороной а длина высоты равна a√3/2. Также из центра окружности проведены радиусы к вершинам треугольника, которые являются биссектрисами углов треугольника. Таким образом, мы получаем три равнобедренных треугольника со стороной R и углом при вершине 60 градусов. Площадь каждого из этих треугольников равна (R^2√3)/4. Тогда площадь описанного круга равна сумме площадей трех треугольников: S = 3(R^2√3)/4 = (3√3/4)R^2. Но мы также знаем, что длина стороны правильного треугольника равна 2R√3, откуда R = a/√3. Подставляя это значение в формулу для площади, получаем S = (3√3/4)(a^2/3) = (a^2√3)/4.
б) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 10 см и высотой, проведенной к основанию, равной 8 см, боковые стороны равны, а угол при основании равен 120 градусам. Пусть R — радиус описанной окружности, тогда по теореме синусов R/8 = sin(60 градусов), откуда R = 8√3 см. Тогда площадь описанного круга равна S = πR^2 = 24π см^2.
в) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и углом при вершине а, боковые стороны равны, а угол при основании равен (180 — угол при вершине)/2 = (180 — а)/2 градусов. Пусть R — радиус описанной окружности, тогда по теореме синусов R/a = sin((180 — а)/2), откуда R = (a/2)sin((180 — а)/2). Тогда площадь описанного круга равна S = πR^2 = (π/4)a^2sin^2((180 — а)/2).
