Вопрос школьника
Найдите площадь круга, вписанного, в равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию; в равнобедренную трапецию с большим основанием a и острым углом α.
Ответ от учителя
1. Площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию:
Для начала найдем высоту треугольника, опущенную на основание. Так как треугольник равнобедренный, то высота будет являться медианой и биссектрисой одновременно. Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя медиану и биссектрису. Тогда получим два прямоугольных треугольника с катетами a/2 и h, где h — высота треугольника. Так как угол α является противолежащим основанию, то он равен углу между медианой и биссектрисой, то есть 45 градусов. Тогда по теореме Пифагора получаем:
(a/2)^2 + h^2 = a^2/4
h^2 = a^2/4 — a^2/4 = a^2/8
h = a/(2*sqrt(2))
Теперь найдем радиус вписанного круга. Радиус круга является высотой, опущенной на сторону треугольника, и равен половине длины биссектрисы. Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса делит угол α на две равные части, то есть угол между биссектрисой и стороной треугольника равен α/2. Тогда по теореме синусов получаем:
r/h = sin(α/2)
r = h*sin(α/2) = a/(2*sqrt(2))*sin(α/2)
Наконец, площадь вписанного круга равна:
S = π*r^2 = π*a^2/(32*cos^2(α/2))
2. Площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию с большим основанием a и острым углом α:
Для начала найдем высоту трапеции, опущенную на большее основание. Так как трапеция равнобедренная, то высота будет являться медианой и биссектрисой одновременно. Разделим трапецию на два прямоугольных треугольника, проведя медиану и биссектрису. Тогда получим два прямоугольных треугольника с катетами (a/2) и h, где h — высота трапеции. Так как угол α острый, то биссектриса делит угол α на две равные части, то есть угол между биссектрисой и большим основанием равен α/2. Тогда по теореме синусов получаем:
h/sin(α/2) = a/2
h = a/(2*sin(α/2))
Теперь найдем радиус вписанного круга. Радиус круга является высотой, опущенной на меньшее основание. Так как трапеция равнобедренная, то высота, опущенная на меньшее основание, равна высоте, опущенной на большее основание. Тогда радиус круга равен половине суммы длин меньшего и большего оснований, то есть:
r = (a/2 + a)/(2*2) = a/(4*sqrt(2))
Наконец, площадь вписанного круга равна:
S = π*r^2 = π*a^2/(32)
